Cos'è distribuzione gamma?

Distribuzione Gamma

La distribuzione gamma è una distribuzione di probabilità continua con due parametri che descrive la probabilità di attendere prima che si verifichino alfa eventi in un processo di Poisson dove gli eventi si verificano indipendentemente l'uno dall'altro a una velocità media di beta. È ampiamente utilizzata in diversi campi come statistica, teoria della probabilità, ingegneria, finanza e meteorologia.

Definizione:

La funzione di densità di probabilità (PDF) della distribuzione gamma è definita come:

f(x; α, β) = (β^α / Γ(α)) * x^(α-1) * e^(-βx)    per x > 0

Dove:

• x è la variabile casuale.
• α è il parametro di forma (> 0), influisce sulla forma della distribuzione. Visualizza il <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Parametro%20di%20Forma">Parametro di Forma</a>.
• β è il parametro di velocità (> 0), influisce sulla scala della distribuzione. Visualizza il <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Parametro%20di%20Velocità">Parametro di Velocità</a>.
• Γ(α) è la funzione gamma.

Proprietà:

• Media: E[X] = α / β
• Varianza: Var[X] = α / β^2
• Asimmetria: 2 / √α
• Curtosi: 6 / α

Relazioni con altre distribuzioni:

• Se α è un intero positivo, la distribuzione gamma diventa una <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Distribuzione%20di%20Erlang">Distribuzione di Erlang</a>.
• Se α = 1, la distribuzione gamma diventa una <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Distribuzione%20Esponenziale">Distribuzione Esponenziale</a>.
• Se α = n/2 e β = 1/2, dove n è un intero positivo, la distribuzione gamma diventa una <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Distribuzione%20Chi-quadrato">Distribuzione Chi-quadrato</a> con n gradi di libertà.

Applicazioni:

• Modellazione del tempo di attesa: Come menzionato, la distribuzione gamma è utile per modellare il tempo di attesa fino a quando si verificano un certo numero di eventi in un processo di Poisson.
• Analisi dell'affidabilità: Può essere utilizzata per modellare la durata di un componente o sistema.
• Finanza: Utilizzata per modellare la dimensione delle perdite operative o la volatilità degli asset.
• Meteorologia: Usata per modellare l'accumulo di precipitazioni.
• Statistica bayesiana: La distribuzione gamma è spesso usata come distribuzione a priori coniugata per il parametro di precisione (l'inverso della varianza) di una distribuzione normale.

Parametrizzazioni:

Esistono due parametrizzazioni comuni per la distribuzione gamma:

1. Parametrizzazione forma-velocità (quella descritta sopra).

2. Parametrizzazione forma-scala, dove si usa un parametro di scala θ = 1/β. La PDF in questo caso diventa:

   f(x; α, θ) = (1 / (θ^α * Γ(α))) * x^(α-1) * e^(-x/θ)    per x > 0
   

Visualizza le <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Parametrizzazioni">Parametrizzazioni</a>.

È importante notare quale parametrizzazione viene utilizzata quando si lavora con la distribuzione gamma, in quanto influenza l'interpretazione dei parametri e i calcoli.